กราฟ SHM: เปรียบเทียบการกระจัด ความเร็ว ความเร่ง (ดูเฟสยังไงให้เป็น?)
ถ้าน้องๆ คิดว่าจำสูตร SHM ได้แล้วจะทำข้อสอบได้หมด… พี่ตั้วขอเบรกไว้ก่อนเลยครับ!
ข้อสอบ A-Level และข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยยุคใหม่ ไม่ค่อยใจดีให้แทนค่าสูตรตรงๆ แล้วครับ แต่มักจะให้ “เส้นกราฟลูกคลื่น” ยึกยือๆ มา 2-3 เส้นซ้อนกัน แล้วถามว่าเส้นไหนคือการกระจัด? เส้นไหนคือความเร็ว?
ปัญหาของเด็ก ม.5 คือกราฟพวกนี้หน้าตามันเหมือนกันไปหมด (เป็นกราฟ Sin หรือ Cos) แค่มันขยับเหลื่อมกันนิดหน่อยเท่านั้น วันนี้พี่ตั้ว Physics Blueprint จะพามาชำแหละ กราฟ SHM ทั้ง 3 เส้น (การกระจัด, ความเร็ว, ความเร่ง) แบบจุดต่อจุด ถ้าน้องอ่านบทความนี้จบและลองเล่นกราฟจำลองด้านล่าง รับรองว่ามองปุ๊บ ตอบปั๊บ ได้แน่นอนครับ!
สารบัญ :
1. สมการต้นแบบของกราฟ SHM
ก่อนจะไปดูกราฟ เราต้องรู้สมการตั้งต้นก่อนครับ สมมติเราดึงมวลติดสปริงให้ยืดออกไปที่ตำแหน่งไกลสุด (แอมพลิจูด \(A\)) แล้วปล่อยให้เริ่มสั่น สมการการเคลื่อนที่จะอยู่ในรูปของฟังก์ชัน Cosine และ Sine ดังนี้ครับ:
สมการการกระจัด (\(x\)): \(x = A \cos(\omega t)\) (เริ่มต้นที่ \(t=0\) วัตถุอยู่ที่ตำแหน่งไกลสุด \(x=A\))
สมการความเร็ว (\(v\)): (ได้จากการดิฟสมการ \(x\)) \(v = -A\omega \sin(\omega t)\)
สมการความเร่ง (\(a\)): (ได้จากการดิฟสมการ \(v\)) \(a = -A\omega^2 \cos(\omega t)\)
จุดสังเกตที่สำคัญ: น้องเห็นไหมครับว่า สมการของ \(x\) กับ \(a\) มันเป็นฟังก์ชัน \(\cos(\omega t)\) เหมือนกันเป๊ะเลย! ต่างกันแค่สมการ \(a\) มี เครื่องหมายลบ (\(-\)) อยู่ข้างหน้า ซึ่งแปลว่า “กราฟ \(a\) คือกราฟ \(x\) ที่ถูกตีลังกากลับหัว” นั่นเองครับ!
2. เปรียบเทียบกราฟจุดต่อจุด (แกะรอยข้อสอบ) ️♂️
เวลาทำข้อสอบ ให้เรามองไปที่ “จุดพีค (Max/Min)” และ “จุดตัดแกนศูนย์” ครับ
จุดที่ 1: เมื่อวัตถุอยู่ที่ “จุดปลายสุด” (ยืดสุด หรือ หดสุด)
การกระจัด (\(x\)): มีค่ามากที่สุด เรียกว่า แอมพลิจูด (\(+A\) หรือ \(-A\)) กราฟจะอยู่ที่ยอดเขาหรือหุบเหว
ความเร็ว (\(v\)): วัตถุกำลังจะวกกลับ มันต้องเบรกจน ความเร็วเป็นศูนย์ (\(v = 0\)) กราฟ \(v\) จะตัดแกนเวลาพอดี!
ความเร่ง (\(a\)): สปริงถูกยืดสุด มันก็เลยออกแรงดึงกลับแรงสุด! ความเร่งจะมี ค่ามากที่สุด (\(a_{max}\)) แต่เครื่องหมายจะตรงข้ามกับ \(x\) เสมอ (ถ้า \(x = +A\) จะได้ \(a = -a_{max}\))
จุดที่ 2: เมื่อวัตถุพุ่งผ่าน “จุดสมดุล” (ตรงกลางพอดี)
การกระจัด (\(x\)): วัตถุอยู่ที่ตำแหน่งเริ่มต้น (\(x = 0\)) กราฟ \(x\) จะตัดแกนเวลา
ความเร็ว (\(v\)): วัตถุพุ่งผ่านตรงกลางด้วย ความเร็วสูงสุด (\(v_{max}\)) กราฟ \(v\) จะอยู่ที่ยอดเขาหรือหุบเหว
ความเร่ง (\(a\)): ที่จุดสมดุล สปริงไม่ได้ยืดและไม่ได้หด จึงไม่มีแรงดึงกลับ ความเร่งเป็นศูนย์ (\(a = 0\)) กราฟ \(a\) จะตัดแกนเวลาพอดี!
3. เรื่องของ “เฟส (Phase)” ใครนำ ใครตาม? ⏱️
ข้อสอบ A-Level ชอบถามว่า กราฟสองเส้นนี้มีเฟสต่างกันเท่าไหร่? ให้จำหลักการง่ายๆ ตามนี้ครับ:
การกระจัด \(x\) กับ ความเร็ว \(v\): เฟสต่างกัน \(90^\circ\) (หรือ \(\frac{\pi}{2}\)) โดยที่ \(v\) จะมีเฟสนำหน้า \(x\) (เพราะ \(v\) ต้องเปลี่ยนก่อน \(x\) ถึงจะเปลี่ยนตาม)
ความเร็ว \(v\) กับ ความเร่ง \(a\): เฟสต่างกัน \(90^\circ\) (หรือ \(\frac{\pi}{2}\)) โดยที่ \(a\) จะนำหน้า \(v\)
การกระจัด \(x\) กับ ความเร่ง \(a\): เฟสต่างกัน \(180^\circ\) (หรือ \(\pi\)) สองตัวนี้เรียกว่ามี “เฟสตรงข้ามกัน (Out of phase)” อย่างสมบูรณ์แบบครับ!
ถ้าน้องเริ่มสนุกกับการวิเคราะห์กราฟ และอยากเจาะลึกเทคนิคการทำโจทย์กราฟหลอกๆ ในข้อสอบแข่งขัน พี่ตั้วขอแนะนำ คอร์สฟิสิกส์ ม.5 เทอม 1 ของ Physics Blueprint ครับ เราจะพาวิเคราะห์กราฟแบบละเอียด พาทำโจทย์ไล่สเต็ป รับรองว่าเจอกราฟลูกคลื่นกี่เส้นซ้อนกัน น้องก็แยกออกได้ใน 5 วินาที!
FAQ: 5 คำถามยอดฮิต เรื่องกราฟ SHM
Q1: จำเป็นไหมที่กราฟ \(x\) ต้องเริ่มต้นเป็นฟังก์ชัน Cosine เสมอ?
ตอบ: “ไม่จำเป็นครับ!” ขึ้นอยู่กับว่าตอนที่เราเริ่มจับเวลา (\(t=0\)) วัตถุอยู่ตรงไหน
ถ้าจับเวลาตอนมันอยู่ไกลสุด \(\rightarrow\) สมการจะเป็น \(x = A \cos(\omega t)\)
ถ้าจับเวลาตอนมันพุ่งผ่านจุดสมดุลตรงกลาง \(\rightarrow\) สมการจะเป็น \(x = A \sin(\omega t)\)(แต่ไม่ว่าเริ่มตรงไหน \(v\) ก็นำ \(x\) อยู่ \(90^\circ\) และ \(a\) ก็ทิศตรงข้ามกับ \(x\) เสมอครับ!)
Q2: แอมพลิจูดของกราฟ \(v\) และ \(a\) สูงเท่ากับกราฟ \(x\) ไหม?
ตอบ: “ไม่เท่ากันครับ!”
ยอดพีคของกราฟ \(x\) คือ \(A\) (หน่วย เมตร)
ยอดพีคของกราฟ \(v\) คือ \(v_{max} = \omega A\) (หน่วย เมตร/วินาที)
ยอดพีคของกราฟ \(a\) คือ \(a_{max} = \omega^2 A\) (หน่วย เมตร/วินาที\(^2\))ค่ามันเอามาเปรียบเทียบความสูงตรงๆ ในแกนเดียวกันไม่ได้ เพราะคนละหน่วยกันครับ
Q3: กราฟ SHM จะสั่นไปเรื่อยๆ ไม่มีวันหยุดเลยเหรอ?
ตอบ: ในทางฟิสิกส์ ม.ปลาย เราเรียนแบบ “อุดมคติ (Ideal)” คือไม่มีแรงเสียดทานต้านทานเลย กราฟแอมพลิจูดจึงสูงเท่าเดิมตลอดไปครับ แต่ในชีวิตจริง มันจะมีแรงต้านอากาศ ทำให้แอมพลิจูดเตี้ยลงเรื่อยๆ จนหยุดนิ่ง (เรียกว่า Damped Harmonic Motion)
Q4: เฟสต่างกัน \(180^\circ\) หมายความว่ายังไง?
ตอบ: หมายความว่ามัน “สวนทางกันแบบสมบูรณ์” ครับ เหมือนกระจกเงา ถ้ากราฟเส้นนึงกำลังขึ้นภูเขา อีกเส้นนึงจะกำลังลงหุบเหว ถ้าเส้นนึงเป็นบวกสุด อีกเส้นนึงจะเป็นลบสุดครับ (เช่น \(x\) กับ \(a\))
Q5: เราสามารถใช้เรื่องวงกลม (หมุนๆ) มาอธิบายกราฟ SHM ได้ไหม?
ตอบ: “ได้และดีมากด้วยครับ!” กราฟลูกคลื่นพวกนี้ จริงๆ แล้วก็คือภาพฉาย (เงา) ของการเคลื่อนที่แบบวงกลมนั่นเอง 1 รอบวงกลม (\(360^\circ\) หรือ \(2\pi\)) ก็คือการสั่นครบ 1 ลูกคลื่นพอดี เราเลยใช้ความเร็วเชิงมุม (\(\omega\)) ในการคำนวณ SHM ครับ
(บทความโดย: พี่ตั้ว Physics Blueprint)